靠北交大 2.0

不要問為何沒有人審文,先承認你就是沒有人。
#靠交5264

現代數學的發展,已經廣博到連數學系的學生都說不清楚有多少分支的地步了。
現代數學到底是什麼?
這個問題實在太大,只能用比喻的來試著解釋:
『人類最高級的集體智慧,所創造出來的各種思考技術』
學習數學,就能獲得前人思考技術的核心概念。
數學,不只是算術,而是可以用來解決已知的與未知的所有問題的思考能力。
想在智力上有所提升,追求所有領域的可能創新,數學是唯一的道路,沒有其他。

(本文並不想照顧完全的門外漢,看不懂請努力提升自己的能力)

以下,簡單說明現代數學的體系:

一、集合論:現代數學的共同基礎

現代數學有數不清的分支,但是,它們都有一個共同的基礎——《集合論》。
因為它,數學這個龐大的家族有個共同的語言。
集合論中有一些最基本的概念:
集合(set)
關係(relation)
函數(function)
等價 (equivalence)
這些概念,是在其它數學分支的語言中必然存在的。
對於這些簡單概念的理解,是進一步學些別的數學的基礎。
我相信,理工科大學生對於這些都不會陌生。

不過,有一個很重要的東西就不見得那麼家喻戶曉了….
那就是《選擇公理》 (Axiom of Choice)。
這個公理的意思是:
『任意的一群非空集合,一定可以從每個集合中各拿出一個元素。』
這似乎是顯然得不能再顯然的命題,不過這個貌似平常的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結論。
比如《巴拿赫-塔斯基分球定理》:
『一個球,能分成五個部分,對它們進行一系列剛性變換(平移旋轉)後,能組合成兩個一樣大小的球』。
正因為這些完全有悖常識的結論,導致數學界曾經在相當長時間裡對於是否接受它有著激烈爭論。
現在,主流數學家對於它應該是基本接受的,因為很多數學分支的重要定理都依賴於這個定理:
拓撲學:Baire Category Theorem
實分析(測度理論):Lebesgue
不可測集的存在性泛函分析四個主要定理:
Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem

在《集合論》的基礎上,現代數學有兩大家族:
1.分析(Analysis):
2.代數(Algebra):

在古典數學時代,幾何和概率論是和代數並列的。
但是它們的現代版本,則基本是建立在分析或者代數的基礎上。
因此從現代意義說,它們和分析與代數並不是平行的關係。

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